令和５年測量士補試験 第７問（標高の観測）を解説

試験問題の引用

令和５年の試験問題は国土地理院HPから引用しています。
https://www.gsi.go.jp/LAW/SHIKEN/past.html

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第７問　問題
第７問　解答・解説
1. 解法１）簡略的（いいかげん）な考え方
2. 解法２）正攻法の考え方

第７問　問題

　公共測量におけるトータルステーションを用いた1級基準点測量において、図7に示すように、既知点Aと新点Bとの間の距離及び高低角の観測を行い、表7の観測結果を得た。Dを斜距離、α_Aを既知点Aから新点B方向の高低角、α_Bを新点Bから既知点A方向の高低角、i_A、f_Aを既知点Aの器械高及び目標高、iB、fBを新点Bの器械高及び目標高とするとき、新点Bの標高は幾らか。最も近いものを次の中から選べ。
　ただし、既知点Aの標高は10.00mとし、Dは気象補正等必要な補正が既に行われているものとする。
　なお、関数の値が必要な場合は、巻末の関数表を使用すること。

選択肢
１．190.71 m
２．190.81 m
３．200.71 m
４．200.81 m
５．204.28 m

第７問　解答・解説

正解は選択肢３です。以下、解説。

まずは、問題文中で与えられた条件を図に書き込みましょう。

その他の条件
・両差は不明
・斜距離Dは気象補正、器械定数補正及び反射鏡定数補正が行われている

今回の問題の重要ポイントは「両差がわからない」ことと「高低角が異なっている」ことの２点。

この問題は難しいので➀簡易な解き方と ➁正攻法の解き方
の２つを紹介します。

解法１）簡略的（いいかげん）な考え方

この問題の嫌なとこは「高低角（α_Aとα_B）がことなっていること」。（あと、角度が細かい数字なので計算が面倒）
ただし、今回は高低角の平均をとると上記解決します。

高低角α_A＝11°00’05”
高低角α_B＝-10°59’55”
→高低角の平均は11°00’00”

両差をKと置き、２つの式を立式する。

➀正方向観測（既知点A→新点B）
H_B = H_A + i_A + Dsinα_A – f_B + K

➁反方向観測（新点B→既知点A）
H_B = H_A + f_A – Dsinα_B – i_B – K

➀と➁の式を足すと
2H_B = 2H_A+ i_A+ f_A+ Dsinα_A– Dsinα_B– f_B– i_B
ここで、H_A=10、 i_A= f_A=1.5、f_B= i_B=1.6、α_A=11°、α_B=-11°より
2H_B = 2×10+1.5+1.5+1000×sin11°-1000×sin11°-1.6-1.6
= 20+3+1000×0.19081-1000×(-0.19081)-3.2
= 23 +190.81+190.81-3.2
= 401.42
H_B = 401.42 ÷2 =200.71

正解は選択肢３

補足（「両差」の扱い）
両差：（球差-気差）のこと。補正係数と思ってもらえれば良いです。
立式のポイント
・既地点から新点の観測を行う場合は足し算
・新点から既知点の観測を行う場合は引き算

解法２）正攻法の考え方

両差をKと置き、２つの式を立式する。

➀正方向観測（既知点A→新点B）
H_B = H_A + i_A + Dsinα_A – f_B + K
➁反方向観測（新点B→既知点A）
H_B = H_A + f_A – Dsinα_B – i_B – K

2H_B = 2H_A+ i_A+ f_A+ Dsinα_A– Dsinα_B– f_B– i_B
ここで、H_A=10、 i_A= f_A=1.5、f_B= i_B=1.6より
2H_B = 2×10+1.5+1.5+1000×sinα_A-1000×sinα_B-1.6-1.6
= 20 + 3 + 1000×sinα_A -1000×sinα_B -3.2
= 19.8 + 1000(sinα_A – sinα_B)

ここで「和積の公式」sinα_A – sinα_B = 2cos((α_A+α_B)÷2)sin((α_A-α_B)÷2)を利用して計算を進める。
sinα_A – sinα_B =2cos((α_A+α_B)÷2)sin((α_A-α_B)÷2)
　　　　　　　=2cos((0°00’10”)÷2)sin((22°00’00”)÷2)
　　　　　　　=2cos(0°00’05”)sin(11°00’00”)
cos0°00′05″≒1、sin11°00′00″=0.19081であるから
sinα_A – sinα_B =2×1×0.19081
=0.38162
よって、
2H_B = 19.8 + 1000(sinα_A – sinα_B)
　　 = 19.8 + 1000×0.38162
　　 = 19.8 + 381.62
　　 = 401.42
H_B = 401.42 ÷2 =200.71