試験問題の引用
令和５年の試験問題は国土地理院HPから引用しています。
https://www.gsi.go.jp/LAW/SHIKEN/past.html
第１４問 問題
図14のように、高低差Zを求めるために、トータルステーション（以下「TS」という。）を用いて、放射法により既知点Aから求点Bを観測した。
既知点Aから求点Bまでの斜距離をD、高低角をθ、高低差をZとすると、高低差Zは式14-1で表される。
斜距離D、高低角θそれぞれの観測値の標準偏差をσD、σθとする。
また、TSによる距離測定と角度測定はお互いに影響を与えないものとし、その他の誤差は考えないものとする。
斜距離Dと高低角θの観測がお互いに独立であることから、両者の共分散は0となる。それぞれの観測値の分散をσD2、σθ2とした場合、高低差ZのσZ2分散は、誤差伝播の法則から式14-2で求められる。
ここで、既知点Aから求点Bを観測した測定値は、斜距離の測定距離D0= 200.000 m、高低角θ0= 30°00’00”であり、使用したTSの距離測定の精度（標準偏差）は（5+5×10-6D）mm（Dはmm単位の測定距離）、角度測定の精度（標準偏差）は5”とする。このとき、高低差Zの標準偏差σZは幾らか。最も適当なものを次のページの中から選べ。
ただし、式14-1及び14-2の距離の単位はmm、角度の単位はラジアンとし、1ラジアンは(2×105)”とする。
なお、関数の値が必要な場合は、巻末の関数表を使用すること。
選択肢
１．3.91 mm
２．4.13 mm
３．5.27 mm
４．6.19 mm
５．6.76 mm
第１４問 解答・解説
正解は選択肢３です。
以下、解説。
（ブログ筆者は標準偏差が苦手なので計算過程のみ記します）
ステップ１ D = D0，θ = θ0 のときの値を計算する
アを求めるためにf(D,θ)をDで微分する。
f'(D,θ) = sinθ
θ=θ0を代入。高低差θ0は問題文より30°
sin30°=0.5
斜距離Dの標準偏差σDを求める。
問題文より「使用した TS の距離測定の精度（標準偏差）は（5 + 5 × 10-6D）mm（D は mm 単位の測定距離）」、「斜距離の測定距離 D0 = 200.000 m」
σD = 5 + 5×10-6×200000=5+1.0 =6.0
f(D,θ)をθで微分する。
f'(D,θ) = Dcosθ
θ=θ0=30°、D=D0=200.000 mのときDcosθは
D0cosθ0 = 200000 × cos30°=200000×0.86603=173206
標準偏差σθを求める。
題文中の「角度 1 ラジアンは，（2 × 105）” 」、「角度測定の精度（標準偏差）を 5″」、「D = D0，θ = θ0 のときの具体的な数値は，距離の単位を mm，角度の単位をラジアンとすると次のように計算できる」から空欄エは次の式で求まる。
問題文中で角度測定の標準偏差は5”とあるので、それをラジアンに変換するだけです。
5” ÷ (2×105) = 0.000025
ステップ２ 上記をもとに高低差Zの標準偏差σZを求める
上記で求めた答えを下記の式14-2に代入する。
0.52 × 6.02 +1732062 × 0.0000252
=0.25 × 36 + 18.7502
=27.7502
≒ 27.75
√27.75 = 5.27 mm
正解は「選択肢３」。
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